Gerak Lurus Beraturan

Gerak lurus beraturan diartikan sebagai gerakan pada lintasan lurus dengan kecepatan tetap/konstan. Kecepatan tetap berarti percepatan nol. Dengan kata lain benda yang bergerak lurus beraturan tidak memiliki percepatan. Dalam kehidupan sehari-hari sangat jarang ditemukan benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus dengan kecepatan tetap.

Karena pada Gerak Lurus Beraturan (GLB) kecepatan gerak suatu benda tetap, maka kecepatan rata-rata sama dengan kecepatan atau kelajuan sesaat. kok bisa ya ? ingat bahwa setiap saat kecepatan gerak benda tetap, baik kecepatan awal mapun kecepatan akhir. Karena kecepatan benda sama setiap saat, maka kecepatan awal juga sama dengan kecepatan akhir. Dengan demikian kecepatan rata-rata benda juga sama dengan kecepatan sesaat.




GRAFIK GERAK LURUS BERATURAN (GLB)

Grafik sangat membantu kita dalam menafsirkan suatu hal dengan mudah dan cepat. Untuk memudahkan kita menemukan hubungan antara Kecepatan, perpindahan dan waktu tempuh maka akan sangat membantu jika digambarkan grafik hubungan ketiga komponen tersebut.



Berdasarkan grafik di atas, tampak bahwa kecepatan bernilai tetap pada tiap satuan waktu. Kecepatan tetap ditandai oleh garis lurus, berawal dari t = 0 hingga t akhir.

Contoh : perhatikan grafik kecepatan terhadap waktu (v-t) di bawah ini





Kecepatan gerak benda pada grafik di atas adalah 3 m/s. 1, 2, 3 dstnya adalah waktu tempuh (satuannya detik). Amati bahwa walaupun waktu berubah dari 1 detik sampai 5, kecepatan benda selalu sama (ditandai oleh garis lurus).

Bagaimana kita mengetahui perpindahan benda melalui grafik di atas ? luas daerah yang diarsir pada grafik di atas sama dengan perpindahan benda. Jadi, untuk mengetahui besarnya perpindahan, hitung saja luas daerah yang diarsir. Tentu saja satuan perpindahan adalah satuan panjang, bukan satuan luas.

Dari grafik di atas, v = 5 m/s, sedangkan t = 3 s. Dengan demikian, jarak yang ditempuh benda = (5 m/s x 3 s) = 15 m. Cara lain menghitung jarak tempuh adalah dengan menggunakan persamaan GLB. s = v t = 5 m/s x 3 s = 15 m.

Persamaan GLB yang kita gunakan untuk menghitung jarak atau perpindahan di atas berlaku jika gerak benda memenuhi grafik tersebut. Pada grafik terlihat bahwa pada saat t = 0 s, maka v = 0. Artinya, pada mulanya benda diam, baru kemudian bergerak dengan kecepatan 5 m/s. Padahal dapat saja terjadi bahwa saat awal kita amati benda sudah dalam keadaan bergerak, sehingga benda telah memiliki posisi awal s0. Untuk itu lebih memahami hal ini, pelajari grafik di bawah ini.

Grafik Kedudukan terhadap Waktu (x-t)

Grafik kedudukan terhadap waktu, di mana kedudukan awal x0 berhimpit dengan titik acuan nol.



Makna grafik di atas adalah bahwa nilai kecepatan selalu tetap pada setiap titik lintasan (diwakili oleh titik-titik sepanjang garis x pada sumbu y) dan setiap satuan waktu (diwakili setiap titik sepanjang t pada sumbu x). Anda jangan bingung dengan kemiringan garis yang mewakili kecepatan. Makin besar nilai x, makin besar juga nilai t sehingga hasil perbandingan x dan y (kecepatan) selalu sama.

Contoh : Perhatikan contoh Grafik Kedudukan terhadap Waktu (x-t) di bawah ini




Bagaimanakah cara membaca grafik ini ?

Pada saat t = 0 s, jarak yang ditempuh oleh benda x = 0, pada saat t = 1 s, jarak yang ditempuh oleh benda = 2 m, pada saat t = 2 s jarak yang ditempuh oleh benda = 4 m, pada saat t = 3 s, jarak yang ditempuh oleh benda = 6 s dan seterusnya. Berdasarkan hal ini dapat kita simpulkan bahwa gerak benda yang diwakili oleh grafik x- t di atas, bergerak dengan kecepatan tetap 2 m/s (Ingat, kecepatan adalah jarak dibagi waktu).

Grafik kedudukan terhadap waktu, di mana kedudukan awal x0 tidak berhimpit dengan titik acuan nol.









Persamaan yang kita turunkan di atas menjelaskan hubungan antara kedudukan suatu benda terhadap fungsi waktu, di mana kedudukan awal benda tidak berada pada titik acuan nol. Kecepatan benda diawali dari kedudukan di x0 sehingga besar x0 harus ditambahkan dalam perhitungan. Pada grafik di atas xo = 0.

VEKTOR POSISI

VEKTOR POSISI DAN KERANGKA ACUAN

Vektor Posisi
Posisi titik dimana suatu kejadian terjadi dinyatakan
dengan vektor jarak dari titik asal ke titik tersebut.
Kerangka Acuan
Suatu kerangka yang digunakan untuk menyatakan
posisi suatu titik dalam ruang. Dalam banyak hal,
digunakan tiga garis sumbu (X,Y,Z) yang saling
berpotongan tegak lurus di titik asal, disebut sistem
Koordinat Kartesian. Kebutuhan akan kerangka
acuan ini menunjukkan bahwa posisi bersifat relatif,
artinya terhadap mana posisi titik tersebut diacukan.



Besaran vektor : besaran yang dicirikan oleh besar/harga dan arah
Contoh : vektor posisi, vektor kecepatan, vektor percepatan, dll

koordinat kartesius

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).





Sistem koordinat Kartesius dapat pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).
Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik asal (0,0). Persamaan lingkaran merah ini adalah x² + y² = 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).





Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan mengggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.


SISTEM KOORDINAT KARTESIUS DALAM 2 DIMENSI
Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diikuti dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.
Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, dimana huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedngakan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.


Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P berada pada koordinat (3,5).




Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, bidang xy terbagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlaku, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bernilai positif. Pada kuadran II, koordinat x bernilai negatif dan koordinat y bernilai positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bernilai negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bernilai positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).
Kuadran nilai x nilai y
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III > 0 < 0

koordinat polar

koordinat polar

• Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar.
• Koordinat Polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbupolar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

O (the pole)

ray (polar axis)

by Ratna Herdiana

• Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:

-  derajat dari sumbu-x (sb. polar)

( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

Perhatian:

jika r <>, maka P berada di posisi yang

berlawanan arah.

• r: koordinat radial
• : koordinat sudut

• Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar

(r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil

= ( r,  + n ) , untuk n bil. bulat genap

Example:

the following polar coordinates represent

the same point

(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

• Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi:

x = r cos  , y = r sin 

Maka r² = x² + y²,

tan  = y/x, jika x  0

Catt. menentukan 

• Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4

jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x).

• Jika x <>

 =  + arctan(y/x).

Persamaan2 dalam Koordinat Polar

• Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a
• Untuk lingkaran berjari a,

- berpusat di (0,a): r = 2a sin 

- berpusat di (a,0): r = 2a cos 

r = 2 sin 

r = 2 cos 



0

/2

2

0

0



r



-2

/2

0

0

2



r

• Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak:

Kalikan kedua sisi dengan r:

r² = 2r sin 

x² + y² = 2y

x² + y² - 2y = 0

Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x² + (y -1)² = 1

• Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin  and r² = 4 sin .

Solusi:

(1 + sin  )² = 4 sin 

1 + 2 sin  + sin²  - 4 sin  = 0

sin²  - 2 sin  + 1 = 0

(sin  - 1)² = 0  sin  = 1

Jadi sudut  =  /2 + 2n, dimana n = 0,1,…

Jadi salah satu titik potong: (2,  /2)

Grafik Persamaan Polar

Cardioid:

Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin 

Limaçon: r() = 3 – 2 cos()

• Persamaan berbentuk

r = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,

2n jika n genap

Rose: r() = a – b sin (n)
contoh: r() = 5 – sin(2)

Grafik persamaan polar

Lemniscate:

Spiral: r = 

Grafik dari “butterfly curve”
r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3

Menghitung Luas dalam Koordinat Polar

• Definisi:

Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial  =  dan  =  dan kurva r = f( ),

   , adalah

 =

 =

r = f()

• Diket. luas lingkaran berjari r :
• Luas juring (sektor) lingkaran:

• Partisi selang [,  ]:  = ⁰ <¹ <² … <ⁿ =
• Daerah R dibagi menjadi n buah sektor.
• Luas sektor ke- i ( Aⁱ )  Luas sektor dg jari2 f(ⁱ *) dan besar sudut ⁱ = ⁱ - ^i-1 .

Aⁱ 

Jadi A =

Hitung luas daerah limaçon dgn pers.
r = 3 +2 cos , 0    2

Example

• Solution:

Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon

• Luas daerah yg dibatasi ikalan luar:

Luas yg dibatasi ikalan dalam (r<0)

Luas =

• Luas daerah antara dua kurva polar

r = f() dan r = g(), dengan

f()  g()  0, :

Kurva Parametrik (Ch.10.4)

• Definisi:

Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi

x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik)

yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya).

Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t  2

Atau

Kurva parameter dari

fungsi parameter

x= cos 3t, y = sin 5t,

0  t  2

Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid

• Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a)

x = a(t – sin t)

y = a(1- cos t)

P(x,y)

Q(at,y)

C(at,a)

Garis tangen pada persamaan parametrik

Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan.

Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen

Contoh; Cari persamaan garis tangen

pada t yang ditentukan

Parametrik Koordinat Polar

• Kurva dalam koordinat polar , r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter  :

x( ) = f( ) cos  , y( ) = f( ) sin ,

(x dan y dinyatakan dgn parameter ).

• Kemiringan dy/dx dari garis tangen

• Cari persamaan garis tangen

dari kurva parametrik

Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar

berikut ini

r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4.

Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx