koordinat polar

koordinat polar

• Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar.
• Koordinat Polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbupolar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

O (the pole)

ray (polar axis)

by Ratna Herdiana

• Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:

-  derajat dari sumbu-x (sb. polar)

( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

Perhatian:

jika r <>, maka P berada di posisi yang

berlawanan arah.

• r: koordinat radial
• : koordinat sudut

• Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar

(r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil

= ( r,  + n ) , untuk n bil. bulat genap

Example:

the following polar coordinates represent

the same point

(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

• Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi:

x = r cos  , y = r sin 

Maka r² = x² + y²,

tan  = y/x, jika x  0

Catt. menentukan 

• Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4

jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x).

• Jika x <>

 =  + arctan(y/x).

Persamaan2 dalam Koordinat Polar

• Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a
• Untuk lingkaran berjari a,

- berpusat di (0,a): r = 2a sin 

- berpusat di (a,0): r = 2a cos 

r = 2 sin 

r = 2 cos 



0

/2

2

0

0



r



-2

/2

0

0

2



r

• Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak:

Kalikan kedua sisi dengan r:

r² = 2r sin 

x² + y² = 2y

x² + y² - 2y = 0

Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x² + (y -1)² = 1

• Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin  and r² = 4 sin .

Solusi:

(1 + sin  )² = 4 sin 

1 + 2 sin  + sin²  - 4 sin  = 0

sin²  - 2 sin  + 1 = 0

(sin  - 1)² = 0  sin  = 1

Jadi sudut  =  /2 + 2n, dimana n = 0,1,…

Jadi salah satu titik potong: (2,  /2)

Grafik Persamaan Polar

Cardioid:

Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin 

Limaçon: r() = 3 – 2 cos()

• Persamaan berbentuk

r = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,

2n jika n genap

Rose: r() = a – b sin (n)
contoh: r() = 5 – sin(2)

Grafik persamaan polar

Lemniscate:

Spiral: r = 

Grafik dari “butterfly curve”
r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3

Menghitung Luas dalam Koordinat Polar

• Definisi:

Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial  =  dan  =  dan kurva r = f( ),

   , adalah

 =

 =

r = f()

• Diket. luas lingkaran berjari r :
• Luas juring (sektor) lingkaran:

• Partisi selang [,  ]:  = ⁰ <¹ <² … <ⁿ =
• Daerah R dibagi menjadi n buah sektor.
• Luas sektor ke- i ( Aⁱ )  Luas sektor dg jari2 f(ⁱ *) dan besar sudut ⁱ = ⁱ - ^i-1 .

Aⁱ 

Jadi A =

Hitung luas daerah limaçon dgn pers.
r = 3 +2 cos , 0    2

Example

• Solution:

Contoh 2: Hitung luas daerah yg dibatasi oleh dua loop limacon

• Luas daerah yg dibatasi ikalan luar:

Luas yg dibatasi ikalan dalam (r<0)

Luas =

• Luas daerah antara dua kurva polar

r = f() dan r = g(), dengan

f()  g()  0, :

Kurva Parametrik (Ch.10.4)

• Definisi:

Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi

x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik)

yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t bilangan real (parameternya).

Contoh: x = cos t, y = sin t, 0 t  2

Atau

Kurva parameter dari

fungsi parameter

x= cos 3t, y = sin 5t,

0  t  2

Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid

• Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan titik pusat C(at,a)

x = a(t – sin t)

y = a(1- cos t)

P(x,y)

Q(at,y)

C(at,a)

Garis tangen pada persamaan parametrik

Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan.

Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen

Contoh; Cari persamaan garis tangen

pada t yang ditentukan

Parametrik Koordinat Polar

• Kurva dalam koordinat polar , r = f( ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg parameter  :

x( ) = f( ) cos  , y( ) = f( ) sin ,

(x dan y dinyatakan dgn parameter ).

• Kemiringan dy/dx dari garis tangen

• Cari persamaan garis tangen

dari kurva parametrik

Cari kemiringan garis tangen pada kurva polar

berikut ini

r = f(q) = 2 + 3 cos(8 q) di q = 3p/4.

Hit. dy/dq, dx/dq , dy/dx